2013のレアな数学的特性10選

明けましておめでとうございます。

2013年ということで、2013に関する数学的特性を集めてみました。

レア度: ★☆☆☆☆

2013の2進表記は11111011101、
2013の3進表記は2202120、
2013の5進表記は31023

各桁の数をすべて足すとどれも9となる

前:1955, 次:2036 （2進表記、3進表記、5進表記それぞれでのdigit和が等しい数）

レア度: ★★★☆☆

2013は13進表記でBBB。

すなわち2013 = 11×13² + 11×13¹ + 11×13⁰

前:1830, 次:2196 （13 進数でdigitがすべて同じになる数）

レア度: ★★★★★

2013は5進数で31023。

10進数でも5進数でも0,1,2,3だけで表現される。

前:1424, 次:2130 （5 進表記と10進表記で使われているdigitが同じ数）

レア度: ★★☆☆☆

それまでのn-1グループの全要素と重複しないように最小に選ばれる公差n、要素数nの等差数列グループの平均値

(1), (2, 4), (3, 6, 9), (7, 11, 15, 19), (8, 13, 18, 23, 28), (14, 20, 26, 32, 38, 44), (20, 27, 34, 41, 48, 55, 62),…

前: 1826, 次: 2079

レア度: ★☆☆☆☆

2013の素因数は3, 11, 61。

3²+11²+61²は3851で素数。

前:2007, 次:2030 （素因数の2乗和が素数になる数）

レア度: ★★★★☆

2013の約数の5乗和は2013で割り切れる。

2013の約数は1, 3, 11, 33, 61, 183, 671, 2013。

それらを5乗して足し、2013で割ると16487748318752という整数になる。

前: 1717, 次: 2296 （nの約数の5乗和がnで割り切れるような整数n）

レア度: ★★★★★

2013～2016は素因数が3つ（重複含む）の数

前: 1884～1887, 次: 2583～2586 （素因数が3つのもので4連続する数）

なお、2013, 2014, 2015は素因数が異なる3つの素数で、楔数（くさびすう）と呼ばれる数。楔数が3つ連続するのもレア。

レア度: ★★☆☆☆

2013²の約数の総和は2557²の約数の総和と等しくなる(Wallis pair)

前: 1956と2030, 次: 2072と3097

レア度: ★★☆☆☆

857, 859は双子素数。

それらは148番目、149番目の素数で

857+859+148+149=2013

前:1945, 次:2069 （双子素数の和とそのインデックス （何番目の素数か） の和との和）

レア度: ★★★☆☆

2013 = Prime[2] × Prime[5] × Prime[18] → 2 + 5 + 8 = 25

2014 = Prime[1] × Prime[8] × Prime[16] → 1 + 8 + 16 = 25

2013 と2014は素因数のインデックスの総和が等しい

前:1862, 次:2255